如今，即便是結構非常復雜的神經網絡，只要使用Keras，TensorFlow，MxNet或PyTorch等先進的專業(yè)庫和框架，僅需幾行代碼就能輕松實現(xiàn)。而且，你不需要擔心權重矩陣的參數(shù)大小，也不需要刻意記住要用到的激活函數(shù)公式，這可以極大的避免我們走彎路并大大簡化了建立神經網絡的工作。然而，我們還是需要對神經網絡內部有足夠的了解，這對諸如網絡結構選擇、超參數(shù)調整或優(yōu)化等任務會有很大幫助。本文我們將會從數(shù)學角度來充分了解神經網絡是如何工作的。

圖1. 訓練集的可視化

如圖1所示，是一個典型的數(shù)據二分類問題，兩類的點分別形成了各自的圓，這種數(shù)據分布對于許多傳統(tǒng)的機器學習算法來說很難，但對于輕量級的神經網絡卻很容易勝任。為了解決該問題，我們將使用具有圖2所示結構的神經網絡，包括五個全連接層，每層具有不同數(shù)量的單元。對于隱藏層，我們將使用ReLU作為其激活函數(shù)，而使用Sigmoid作為輸出層。 這是一個非常簡單的結構，但對于我們要解決的問題而言卻已經擁有足夠的能力了。

圖2. 神經網絡結構

正如之前提到的，只需幾行代碼便足以創(chuàng)建和訓練一個模型，就能實現(xiàn)測試集中的分類結果幾乎達到100％的準確度。而我們的任務，就是為所選的網絡設定超參數(shù)，如層數(shù)、每層的神經元數(shù)、激活函數(shù)和迭代次數(shù)等?，F(xiàn)在讓我們看一個很酷的可視化，來看看學習過程究竟發(fā)生了什么。

圖3. 訓練過程可視化

什么是神經網絡？

讓我們首先回答這個關鍵問題：什么是神經網絡？ 它是一種在生物學啟發(fā)下構建計算機程序的方法，能夠學習并找到數(shù)據中的聯(lián)系。 如圖2所示，網絡是按層排列的“神經元”的集合，通過權重互聯(lián)互通的聯(lián)系在了一起形成網絡。

每個神經元接收一組編號從1到n 的x值作為輸入，用來計算預測的y(^)值。向量x實際上包含來自訓練集的m個樣本之一的特征值。比較重要的是，每個神經元都有自己的一組參數(shù)，通常稱為w（權重列向量）和b（偏差），它們會學習過程中發(fā)生變化。每次迭代中，神經元基于其當前權重向量w來計算輸入向量x加權平均后的值并加上偏置b。最后，該計算結果會通過非線性激活函數(shù)g，本文的后面部分會提及一些最常用的激活函數(shù)。

圖4. 單個神經元

我們已經對單個神經元的工作有所了解了，下面讓我們再深入學習一下如何對整個神經網絡層進行計算，并將所有圖進行向量化，最后將計算合并到矩陣方程中。 為了統(tǒng)一符號，方程中[l]表示為所選層，下標表示該層中神經元的索引。

圖5 單層

對單個單元而言，我們使用x和y(^)分別表示特征列向量和預測值。然后使用向量a表示相應的層，而向量x對應層0的輸入，即輸入層。層中的每個神經元根據以下等式執(zhí)行計算：

為了清楚起見，以第2層為例展開：

如您所見，對于每層我們都必須執(zhí)行類似操作，那么使用for循環(huán)效率就會不高。為了加快計算速度，我們將使用向量化的方法。 首先，通過將轉置后的權重w行向量堆疊在一起就 構建得到矩陣W. 類似地，我們將層中的每個神經元的偏置堆疊在一起，從而得到列向量b。 這樣我們就能構建出一個矩陣方程，能夠一次便對層中所有神經元進行計算。下面我們寫下使用的矩陣和向量的維數(shù)。

到目前為止，得到的方程只適用于這一個例子。 在神經網絡的學習過程中，您通常使用大量數(shù)據，最多可達數(shù)百萬條。因此，下一步要做的將是跨多個示例的矢量化。 假設我們的數(shù)據集包含m個示例，每個示例都具有nx特征。首先，我們將每層的列向量x，a和z組合在一起，分別創(chuàng)建X，A和Z矩陣，然后我們重寫先前的方程。

激活函數(shù)

激活函數(shù)是神經網絡的關鍵元素之一。沒有它們，我們的神經網絡只能成為線性函數(shù)的組合，就只能具備有限的擴展性，也不會擁有超越邏輯回歸的強大能力。引入非線性元素則會使得學習過程中擁有更大的靈活性和創(chuàng)建復雜表示的功能。 激活函數(shù)也會對學習速度產生重大影響，這也是主要的選擇標準之一。下圖6中，顯示了一些常用的激活函數(shù)。目前，最受歡迎的隱藏層可能是ReLU。但如果我們要處理二分類問題時，尤其是我們希望從模型返回的值在0到1的范圍內時，我們有時仍然使用sigmoid激活函數(shù)。

圖6.目前最流行的激活函數(shù)及其衍生的圖解

損失函數(shù)

我們主要通過損失函數(shù)的值來觀察學習過程的進展。一般來說，損失函數(shù)旨在顯示我們與“理想”解決方案的距離。在本文的例子中，我們使用二進制交叉熵作為損失函數(shù)，但根據不同的問題可以應用不同的函數(shù)。本文使用的函數(shù)由下列公式描述，并且在學習過程中其值的變化過程可視化顯示在圖7中，顯示了損失函數(shù)如何隨迭代次數(shù)而準確度逐漸提高。

圖7.學習過程中準確度和損失函數(shù)值的變化

神經網絡是如何學習的？

整個學習過程是圍繞如何調整參數(shù)W和b使得損失函數(shù)最小化進行的。為了實現(xiàn)這一目標，我們將結合微積分并使用梯度下降法來找到函數(shù)最小值。在每次迭代中，相對于神經網絡的每個參數(shù)計算損失函數(shù)對應的偏導數(shù)值。導數(shù)具備很好的描述函數(shù)斜率的能力。通過可視化，我們可以清楚地看到梯度下降是如何改變參數(shù)變量使得目標函數(shù)的值在圖中向下移動。如圖8所示，可以看到每次成功的迭代都朝著最小值點方向進行。在我們的神經網絡中，它以相同的方式工作，每次迭代時計算的梯度代表應該移動的方向。主要區(qū)別在于，在我們的神經網絡范例中，我們有更多的參數(shù)需要操作。因此變得更為復雜，那么究竟怎樣才能計算出最優(yōu)參數(shù)呢？

圖8. 模型訓練中的梯度下降

這時候我們就需要引入計算最優(yōu)參數(shù)的算法——反向傳播(BP)，它允許我們計算一個非常復雜的梯度，也正是我們需要的。根據以下公式來調整神經網絡的參數(shù)。

在上面的等式中，α表示學習率，這個超參數(shù)可以自定義調整。選擇合適的學習率是至關重要的，如果我們將其設置得太低，那么我們的神經網絡會學習得非常慢，如果設置得太高那么損失函數(shù)就不會到達最小值了。 dW和db分別是W和b相對于損失函數(shù)的偏導數(shù)，可以上述公式推導而的。 dW和db的尺寸也是分別和W和b對應的。圖9顯示了神經網絡中的操作順序，我們可以清楚地看到前向傳播和反向傳播是如何協(xié)同工作以優(yōu)化損失函數(shù)的。

圖9. 前向傳播和反向傳播

通過前向傳播的預測和反向傳播糾正信號，就能不斷的根據數(shù)據來調整網絡，最終實現(xiàn)了神經網絡從數(shù)據中學習的能力。

在使用神經網絡時，至少要了解內部運行過程的基礎知識才能得心應手。盡管在本文中提到了一些比較重要的知識，但這僅僅是冰山一角。 如果希望深入理解神經網絡的運行機理，請使用像Numpy一樣的基礎工具來編寫一個自己的小型神經網絡吧！你會得到想不到的收獲！