1. 概述

基于FPGA實現(xiàn)各種設計的首要前提是理解并掌握數(shù)字的表示方法，計算機中的數(shù)字表示方法有兩種：定點數(shù)表示法和浮點數(shù)表示方法。其中，對于浮點數(shù)盡管當前應用最為廣泛的是基于IEEE 754所設計的浮點數(shù)表示方法，Xilinx（忘記Altera中是否有對應的IP核）的IP核中也提供了相應的設計方法，但其表示方法缺乏FPGA設計應有的靈活性，而且資源消耗相對嚴重，因此可以根據(jù)應用的需要，設計好基于FPGA實現(xiàn)的自定義浮點數(shù)。

2. 定點數(shù)表示

定點數(shù)大類上可分為有符號數(shù)和無符號數(shù)，需要清楚的是，無論是計算機還是FPGA，其底層并沒有無符號數(shù)、有符號數(shù)的概念，底層只是一大串二進制數(shù)據(jù)在進行運算（在底層就是一大堆寄存器處于開關的工作狀態(tài)中）。定點數(shù)的第一印象容易給人產生是用來表示整數(shù)的印象，然而無論是整數(shù)還是小數(shù)都可以采用定點數(shù)來表示，同理整數(shù)和小數(shù)的概念也是人為規(guī)定上去的，F(xiàn)PGA本身不會理解那一大串二進制數(shù)是表示整數(shù)還是小數(shù)，具體的運算法則由編程人員規(guī)定好。

1.1 Qm.n的表示方法

本文采用最廣泛使用的補碼表示形式（默認都懂其他的原碼表示和反碼表示形式），對應的用來表示有符號數(shù)。人為定義小數(shù)點的位置。

采用Qm.n量化表示定點數(shù)，其中m用來表示小數(shù)點前的位寬，包括一位符號位和m-1位整數(shù)位，n表示小數(shù)位寬。如16位有符號整數(shù)可以表示成Q16.0,用來表示小于1的小數(shù)則可以表示成Q1.15。對于Qm.n的表示格式，其范圍表示如下：

例如，1110整數(shù)則表示為Q4.0:（-2^4 + 2^3 + 2^2 +0）/2^0= -2，1110有兩位小數(shù)則表示為Q2.2：（-2^4+2^3+2^1+0）/2^2 = -0.5。下表對應表示16位二進制補碼表示的數(shù)的范圍。

1.1 浮點數(shù)的定點化

浮點數(shù)的定點化涉及到量化方法。量化的過程可以表示為：

量化方法主要有兩種：尾部截斷舍棄法和尾部四舍五入法。

對于尾部截斷舍棄法，顧名思義則是丟棄掉尾部不能表示的部分。假設將浮點數(shù)表示成8位Q3.5的定點數(shù)，則表示過程如下（對3.2和-3.2進行定點化）：

[3.2] = floor(3.2*2^5) = floor(102.4) = 102 = 01100110

[-3.2] = floor(-3.2*2^5) = floor(-102.4) = -103 = 10011001

采用MATLAB可以做如下實現(xiàn)：

dec2bin(floor(3.2*2^5), 8) = 01100110

dec2bin(2^8+floor(-3.2*2^5), 8) = 10011001

對于四舍五入法，則對應的過程表示如下：

[3.2] = round(3.2*2^5) = round(102.4) =102 = 01100110

[-3.2]=round(-3.2*2^5) = round(-102.4)= -102 = 10011010

采用MATLAB可以做如下實現(xiàn)：

dec2bin(round(3.2*2^5), 8) = 01100110

dec2bin(2^8+round(-3.2*2^5), 8) = 10011010

由于采用四舍五入方法還需要進行尾部數(shù)據(jù)的判斷，因此通常使用中，如無特別需求，多采用尾部截斷舍棄法。

3. 浮點數(shù)表示

在FPGA運算中，浮點數(shù)無論是表示方法、資源占用還是運算法則都比定點數(shù)復雜得多。但另一方面，基于FGPA 的實現(xiàn)的算法性能嚴重依賴于算法的數(shù)值精度表示，很多時候在信號處理中，數(shù)值的動態(tài)范圍過大，采用一般的定點算法往往無法滿足這樣大的動態(tài)范圍，而且定點算法經(jīng)過精打細算之后，算法的小數(shù)位和整數(shù)位是固定的，表示的范圍同樣是固定的，無法在作調節(jié)，后續(xù)一旦有所修改，整個算法實現(xiàn)過程需要重新進行計算仿真設計，這樣的后期維護成本太高，簡直是牽一發(fā)而動全身。對于cpu處理器來說，浮點格式基本上會采用IEEE 754制定的標準單精度或雙精度格式。而對于FPGA來說，由于其強大的靈活性，雖然也是按照IEEE 754標準實現(xiàn)浮點數(shù)表示，但是卻可以對尾數(shù)和指數(shù)的位寬作修改。

IEEE 754定制的浮點格式在存儲方面有著很完美的形式，可以最大限度表示數(shù)的動態(tài)范圍的同時，減少存儲資源，但是實際參與運算時并沒那么直接，需要經(jīng)過相應的換算。因此可利用FPGA的靈活性，自定義浮點數(shù)格式。

3.1 自定義浮點格式表示

不像根據(jù)IEEE 754[45] 標準所設計的32-bit和64-bit標準浮點格式，本論文的自定義浮點由位寬可配置的指數(shù)（Exponent）和尾數(shù)（Mantissa）兩部分組成。指數(shù)和尾數(shù)部分都是有符號定點數(shù)。作為一個例子，我們采用標準雙精度浮點格式和自定義浮點格式之間進行對比。標準雙精度浮點數(shù)可以表示如下等式：

其中1.f表示52-bit尾數(shù)；Exp?表示存儲起來的指數(shù)值；bias?表示偏置，對于標準雙精度浮點，改值為1023；Exp-bias?表示實際的指數(shù)值。標準格式表示如圖(a) 所示。然而，對于自定義浮點格式表示的數(shù)的實際值如下：

其中，Man?表示的尾數(shù)是52-bit有符號定點數(shù)，表示的實際值為0.1b49b48...b2b1b0 或者1.0b49b48...b2b1b0。而Exp?表示實際指數(shù)值。具體格式表示如圖(b)所示。

自定義浮點算法的其中一個優(yōu)點是指數(shù)部分和尾數(shù)部分的位寬都是可配置的，設計者可以在算法精度要求和資源消耗方面進行權衡。而現(xiàn)存的由XILINX 提供的浮點運算IP 核是基于IEEE 754標準的，在每一次四則運算之后（如加法或乘法之后）都會進行一個格式化運算。而格式化運算占比的硬件資源消耗很大。無疑，如果存在多次連續(xù)加法運算或者乘加運算，這樣的運算方式是資源消耗嚴重的。而本文所提出的自定義浮點算法則是整合的乘加運算和連續(xù)加法運算，盡量減少格式化操作，從而減少資源消耗。

1.1 定點數(shù)轉自定義浮點格式

相比較于標準浮點格式的轉換，定點數(shù)轉成上文描述的自定義浮點格式相對來說簡單許多，只需要經(jīng)過簡單的規(guī)格化，假設定點數(shù)為Qm.n，將其轉換為指數(shù)位寬為E，尾數(shù)位寬為M，其過程可以描述如下：

輸入：定點數(shù)Qm.n，則初始指數(shù)值為m，尾數(shù)Q1.(m+n-1)；

規(guī)格化：計算符號位個數(shù)，假設計算得符號位個數(shù)為k；

輸出：指數(shù)輸出值為m-k，尾數(shù)從m+n-k作為最高位開始截位，截取M位，如果不夠長，則從最低位開始補零，補足到M位長度輸出。

這里唯一需要再次說明的是，如何計算符號位的個數(shù)，最簡單的方法就是采用一個for循環(huán)，for循環(huán)里邊使用一個計數(shù)器（初始值為1）和比較判斷器，從次高位開始與最高位做比較，如果相同（同為1或者同為0），則計數(shù)器加1，以此類推下去。這里使用MATLAB，按照比特級別仿真，打包成一個函數(shù)，如下：

?

function k = dupSign_cal(u)% ?u: 定點數(shù)輸入
% k：計算符號位個數(shù)
bit_len = get(u, 'WordLenght');
SignBit = bitget(u, bit_len);
count = 1;
for i = bit_len-1:-1:1
 if bitget(u, i) == SignBit 
 ? count = count+1;
 else
 ? break;
 end
end

?

當然，無論是verilog里邊的for循環(huán)還是vhdl里邊的for循環(huán)，并非軟件中for的概念意義，實際上FPGA綜合時會將for循環(huán)全部展開，因此這里如果定點數(shù)太長，則for循環(huán)不但消耗的資源多，而且非常容易造成時序不過關（想想在規(guī)定的一個或兩個時鐘里邊完成幾十比特一比特一比特的比對）。因此如果定點位寬太長，則應該想更多的辦法來完成該過程，F(xiàn)PGA節(jié)省時間的方法無外乎增加資源，一個for循環(huán)不行，并行多個for循環(huán)嘛。