傳統(tǒng)的軟件可靠性模型大多假設(shè)排除錯(cuò)誤的時(shí)間忽略不計(jì)，基于假設(shè)過(guò)于苛刻，影響了模型應(yīng)用的范圍和精度。因此在JM模型的基礎(chǔ)上，提出了排錯(cuò)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布的軟件可靠性模型及本模型的極大似然參數(shù)估計(jì)方法。通過(guò)用馬爾可夫過(guò)程描述系統(tǒng)的狀態(tài)，分析了模型的數(shù)值求解方法，并討論了使用在本模型中的失效預(yù)測(cè)、剩余錯(cuò)誤預(yù)測(cè)和等待排出的錯(cuò)誤數(shù)預(yù)測(cè)公式。同時(shí)利用實(shí)際的工程數(shù)據(jù)對(duì)本模型的應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行了驗(yàn)證。
關(guān) 鍵 詞 軟件可靠性模型; 軟件可靠性; 排錯(cuò)時(shí)間; JM模型

在現(xiàn)有的軟件可靠性模型中，絕大多數(shù)都假設(shè)排除錯(cuò)誤的時(shí)間忽略不計(jì)，這些模型的可靠性預(yù)測(cè)都依賴(lài)于這條假設(shè)。顯然，忽略排錯(cuò)時(shí)間的假設(shè)過(guò)于苛刻，尤其在軟件工程的實(shí)踐中，排錯(cuò)過(guò)程已經(jīng)成為影響軟件可靠性的重要環(huán)節(jié)。在得不到排錯(cuò)過(guò)程數(shù)據(jù)的情況下，忽略排錯(cuò)時(shí)間使得可靠性模型變得簡(jiǎn)單，同時(shí)也降低了模型精度和結(jié)果的可信度。隨著軟件開(kāi)發(fā)過(guò)程管理水平的提高， 在有條件獲得排錯(cuò)過(guò)程的有關(guān)數(shù)據(jù)條件下，則應(yīng)將考慮排錯(cuò)過(guò)程對(duì)可靠性的影響，本文提出了考慮排錯(cuò)時(shí)間的可靠性模型。
1 JM模型
JM模型(Jelinski and Moranda Model，JM)由文獻(xiàn)[1]提出，是最早的軟件可靠性模型之一，該模型對(duì)軟件可靠性定量分析技術(shù)的建立和發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)[2, 3]。
模型基本假設(shè)如下：1) 軟件測(cè)試的方式與使用方式相同；2) 軟件每個(gè)錯(cuò)誤導(dǎo)致系統(tǒng)失效的可能性相同；3) 軟件中的錯(cuò)誤相互獨(dú)立，各次失效的間隔時(shí)間也相互獨(dú)立；4) 當(dāng)失效發(fā)生后，導(dǎo)致失效的軟件錯(cuò)誤立刻被排除，排錯(cuò)時(shí)間忽略不計(jì)，且不引入新的錯(cuò)誤；5) 在測(cè)試開(kāi)始時(shí)，軟件中有N0個(gè)錯(cuò)誤。N0是一個(gè)未知常數(shù)；6）軟件的失效率Z在每個(gè)失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯(cuò)誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ。假

設(shè)1)保證了使用測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)可靠性進(jìn)行了模型評(píng)估的正確性。假設(shè)2)使得不同的失效率具有相同的分布特性。假設(shè)3)排除了錯(cuò)誤之間的相互影響。假設(shè)4)則將測(cè)試階段中的查錯(cuò)、排錯(cuò)兩種活動(dòng)簡(jiǎn)化為只有查錯(cuò)一種活動(dòng)，忽略了排錯(cuò)過(guò)程和排錯(cuò)結(jié)果對(duì)可靠性的影響。假設(shè)1)～4)廣泛應(yīng)用在多種軟件可靠性模型之中[2,3]。根據(jù)JM模型的假設(shè)5)、6)可以得知，在第i個(gè)測(cè)試區(qū)間內(nèi)，失效率函數(shù)為：
Z(Δt | ti?1)＝Φ(N0?i+1)
假設(shè)失效發(fā)生時(shí)刻的隨機(jī)變量為ξ, 用F(t)表示ξ的分布函數(shù)．根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的定義可以得到： 000{|}{}()()(|)limlimlim{}(1())1()tttPttttPtttFttFtFtZttttPthFtξξξξΔ→Δ→Δ→′+Δ>>+Δ>+Δ?Δ====ΔΔ>?≥≥ (1)
求解這個(gè)一階常系數(shù)微分方程，在初始條件F(0)=0的情況下，可得分布函數(shù)：
01() = 1exp{(|)} = 1exp{(+1)}iFtZtttNitΦ??Δ??? (2)
可見(jiàn)，系統(tǒng)在經(jīng)歷了i?1次失效后，第i次失效發(fā)生的時(shí)間服從參數(shù)Φ(N0?i+1)的負(fù)指數(shù)分布。其密度函數(shù) f(t) = F′ (t) =Φ(N0?i+1)exp{?Φ(N0?i+1)t}，可靠性函數(shù)R(t) = exp{?Φ(N0?i+1)t}，第i次失效與第i?1次失效的間隔時(shí)間 =01(1iMTBFNiΦ=?+，則第k次失效發(fā)生的時(shí)間 。失效次數(shù)的均值公式為： 1kkitMTB==Σ
(3) 0()=[1exp()]mtNtΦ??
剩余錯(cuò)誤數(shù)的均值為：
0()=exp()etNt?Φ (4)
2 負(fù)指數(shù)分布排錯(cuò)時(shí)間的軟件可靠性模型
2.1 基本假設(shè)
本模型的假設(shè)包括JM模型的假設(shè)1)～3)和假設(shè)5)，對(duì)假設(shè)4)和假設(shè)6)進(jìn)行如下修改。
2.1.1 對(duì)假設(shè)4)的修改：負(fù)指數(shù)時(shí)間的排錯(cuò)過(guò)程
假設(shè)4.1)，每次的軟件失效是由一個(gè)錯(cuò)誤引起的；假設(shè)4.2)，當(dāng)失效發(fā)生后，排錯(cuò)活動(dòng)立刻進(jìn)行；假設(shè)4.3)，每次排除一個(gè)錯(cuò)誤，排錯(cuò)順序按照失效的順序進(jìn)行，如果新的排錯(cuò)任務(wù)到達(dá)時(shí)上一個(gè)錯(cuò)誤仍未被排除，則新的排錯(cuò)任務(wù)進(jìn)入排隊(duì)；假設(shè)4.4)，排錯(cuò)是完美的，引起失效的錯(cuò)誤一定能夠排除，且不引入新的錯(cuò)誤；假設(shè)4.5)，錯(cuò)誤的排除時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。在上述排錯(cuò)過(guò)程假設(shè)的5個(gè)方面中，假設(shè)4.1)可以從原JM模型的假設(shè)2)和假設(shè)3)推導(dǎo)得到；假設(shè)4.2)和假設(shè)4.3)反映了大多數(shù)軟件排錯(cuò)活動(dòng)的特點(diǎn)；假設(shè)4.4)對(duì)實(shí)際的排錯(cuò)活動(dòng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化，本模型暫不考慮不完美排錯(cuò)的情況。
負(fù)指數(shù)分布能夠較好地描述許多人工活動(dòng)的服務(wù)時(shí)間[4]；文獻(xiàn)[5]對(duì)178個(gè)排錯(cuò)時(shí)間樣本進(jìn)行了分析，認(rèn)為排錯(cuò)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；在文獻(xiàn)[4]中，通過(guò)Shuttle項(xiàng)目中包含85個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的排錯(cuò)時(shí)間樣本分析，認(rèn)為其排錯(cuò)時(shí)間也服從參數(shù)為平均排錯(cuò)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布。由于負(fù)指數(shù)分布的排錯(cuò)時(shí)間具有較為廣泛的代表性，因此，本模型假設(shè)排錯(cuò)時(shí)間服從參數(shù)為μ0的負(fù)指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：0()1exp()Fttμ=??。
2.1.2 對(duì)假設(shè)6的修改：失效過(guò)程假設(shè)
假設(shè)6.1)，軟件的瞬時(shí)失效率Z在每個(gè)失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯(cuò)誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ，假設(shè)6.2)一旦錯(cuò)誤被排除，立刻以新的軟件版本為對(duì)象進(jìn)行測(cè)試。本模型假設(shè)6.1)具有與原JM模型相同的實(shí)質(zhì)，但瞬時(shí)失效率具有不同的表達(dá)式。假設(shè)當(dāng)前已經(jīng)發(fā)生了i次失效，且已修復(fù)了j個(gè)錯(cuò)誤(j≤i)，則稱(chēng)系統(tǒng)當(dāng)前處于狀態(tài)(i，j)。根據(jù)假設(shè)6)，處于狀態(tài)(i, j)的系統(tǒng)的瞬時(shí)失效率為( | )=Ztti0(NjΦ?。從上式可以看出，在初始錯(cuò)誤一定的情況下，瞬時(shí)失效率只與已經(jīng)排除的錯(cuò)誤數(shù)有關(guān)，而與失效次數(shù)無(wú)關(guān)。這是本模型與JM模型失效過(guò)程的最大區(qū)別。假設(shè)6.2)符合一般的測(cè)試過(guò)程，該假設(shè)將影響到從失效時(shí)刻得到失效間隔時(shí)間的處理。
2.2 模型的馬爾可夫過(guò)程
如果用二元組(i，j)表示系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，其中i為失效次數(shù)，j為已經(jīng)修復(fù)的錯(cuò)誤數(shù)，N0為初始錯(cuò)誤數(shù)，則系統(tǒng)狀態(tài)的變化構(gòu)成一個(gè)連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫過(guò)程，如圖1所示，其中瞬時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：